Η Θεωρία των Παιγνίων & το Θεώρημα του John Nash, Κωνσταντίνος Δασκαλάκης.

Η θεωρία παιγνίων είναι κλάδος των μαθηματικών

 Χαρακτηρισμός ενός παιγνίου 

Υποθέτουμε αρχικά ότι υπάρχει μία κατάσταση, όπου ορισμένοι δρώντες (παίκτες) παίρνουν αποφάσεις, οι οποίες οδηγούν σε ορισμένα αποτελέσματα . Οι δρώντες αυτοί μπορεί να είναι δύο ή και περισσότεροι. Στην πρώτη περίπτωση εμφανίζονται τα "δύο προσώπων παίγνια" , και στη δεύτερη περίπτωση τα "παίγνια ν-προσώπων" . Αυτοί που συμμετέχουν σε ένα παίγνιο περισσότερων προσώπων μπορούν να σχηματίσουν κατά τη διάρκεια του παιγνίου μία "συμμαχία" διαρκείας ή περιορισμένου χρόνου, οπότε μεταφερόμαστε πάλι στα "παίγνια δύο προσώπων". Φυσικά ένα παίγνιο διαφέρει από μία πραγματική κατάσταση απλού ανταγωνισμού ή σύγκρουσης στο ότι η πραγμάτωσή του γίνεται ακριβώς κάτω από ορισμένες συνθήκες και σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Όλα τα παίγνια περιέχουν το χαρακτηριστικό του ανταγωνισμού μεταξύ των παικτών τους και το αποτελέσμά του οδηγεί σε "κέρδη" ή "απώλειες".

H θεωρία παιγνίων ξεκίνησε ουσιαστικά το 1928, όταν ο ουγγρικής καταγωγής μεγάλος μαθηματικός John von Neumann δημοσίευσε το θεμελιώδες θεώρημα «μηδενικού αθροίσματος» στο οποίο η απώλεια ενός παίκτη είναι ίση με το κέρδος ενός δεύτερου.

Στη συνέχεια αναπτύχθηκε από τον ίδιο τον von Neumann σε συνεργασία με τον Oskar Morgenstern, όταν το 1944 δημοσίευσαν τη Θεωρία Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά για να μελετήσουν ανθρώπινες αλληλεπιδράσεις, όπου το καλύτερο που μπορεί να πετύχει κανείς εξαρτάται από το τι θα κάνει ο αντίπαλος.

‘Εκτοτε η θεωρία παιγνίων εφαρμόστηκε σε ένα μεγάλο εύρος πεδίων (ιδιαίτερα όταν υπάρχουν δύο μείζονες «παίκτες»), που εκτείνεται από τις πολεμικές επιχειρήσεις, την πολιτική και την οικονομία ως τη βιολογία, την κοινωνική ψυχολογία και τη φιλοσοφία, χωρίς να παραλείπουμε τα διαδικτυακά παιχνίδια στον κυβερνοχώρο και τις συνέπειές τους.

 H στρατηγική και οι επιλογές

Στην κλασική θεωρία παιγνίων έχουμε ένα σύνολο παικτών, ένα σύνολο στρατηγικών, που υπαγορεύει τη δράση την οποία πρέπει να ακολουθήσει κάθε παίκτης και μια «συνάρτηση κέρδους» για κάθε επιλογή στρατηγικής.

Το κέρδος  παριστάνεται με μια αριθμητική τιμή.

Σκοπός ενός παίκτη είναι βέβαια να βελτιστοποιήσει το κέρδος γι’ αυτόν.

Επειδή όμως και οποιοσδήποτε άλλος προσπαθεί να πετύχει τον ίδιο στόχο, το ερώτημα είναι πώς θα πρέπει να ενεργήσει κάθε παίκτης.

Ενα μέγεθος που θα προσδιόριζε τον σκοπό ενός παίκτη είναι η λεγόμενη «ισορροπία Nash», μια έννοια που οφείλεται στον νομπελίστα μαθηματικό και οικονομολόγο John Nash, η ζωή του οποίου αποτέλεσε το θέμα της γνωστής ταινίας «Ενας υπέροχος άνθρωπος».

Προσέγγιση της ισορροπίας Nash

Το θεώρημα που διατύπωσε ο Nash και έγινε γνωστό σε όλο τον κόσμο αναφέρει πως κάθε παίγνιο με πεπερασμένο πλήθος παικτών και στρατηγικών έχει τουλάχιστον ένα σημείο ισορροπίας, σύμφωνα με το οποίο όλοι οι παίκτες επιλέγουν τις πιο συμφέρουσες για αυτούς στρατηγικές, γνωρίζοντας και τις επιλογές των αντιπάλων τους. Οι παίκτες σκέφτονται τι μπορεί να διαλέξει ο αντίπαλος τους, προσπαθούν να καταλάβουν τη συμπεριφορά των άλλων και επιλέγουν την στρατηγική τους σύμφωνα με αυτό. Δηλαδή η στρατηγική ενός παίκτη αποτελεί την καλύτερη αντίδραση(απόκριση) στην στρατηγική του άλλου παίκτη. Αυτός ο συνδυασμός στρατηγικών αποτελεί ισορροπία Nash. 

Ο παίκτης επιλέγει εκείνη από τις δικές του στρατηγικές, η οποία είναι η καλύτερη απάντηση στην στρατηγική που νομίζει ότι θα επιλέξει ο άλλος παίκτης. Επομένως κανένας παίκτης δεν έχει κίνητρο να φύγει μονομερώς από αυτήν την ισορροπία που έχει δημιουργηθεί. Οι παίκτες καταλαβαίνουν πως βρίσκονται σε ισορροπία αν μια αλλαγή στις στρατηγικές από οποιονδήποτε από αυτούς, οδηγήσει σε χαμηλότερο κέρδος από αυτό που θα είχαν αν παρέμεναν στη σωστή στρατηγική.

Δεδομένου των επιλογών των αντιπάλων, ο παίκτης δεν έχει να κερδίσει κάποιο μεγαλύτερο όφελος και για αυτό δεν αλλάζει στρατηγική.

Όπως είναι φανερό η θεωρία για την ισορροπία Nash, έχει δύο συνιστώσες: πρώτα κάθε παίκτης κάνει την επιλογή του βασιζόμενος στην ορθολογική απόφαση που προέρχεται από τις πεποιθήσεις του για το τι θα πράξει ο αντίπαλος και δεύτερον κάθε πεποίθηση του παίκτη για την επιλογή του αντιπάλου του είναι σωστή.

Ένα από τα παράδοξα της ισορροπίας Nash που μπορεί να θεωρηθεί και σαν αδυναμία της είναι ότι σε κάποια παίγνια οι παίκτες έχουν μεγαλύτερο όφελος αν δεν διαλέξουν την ισορροπία Nash και διαλέξουν άλλη στρατηγική. Ενώ η ισορροπία Nash δίνει την ελκυστικότερη λύση για όλους τους παίκτες, οδηγώντας στο σημείο ισορροπίας, εντούτοις υπάρχουν κάποια διάσημα παίγνια που είναι εξαίρεση στον κανόνα.Συμπερασματικά  ο Αμερικανός επιστήμονας τη δεκαετία του ΄50 έφτιαξε ένα απλοποιημένο σύστημα των σχέσεων και των ενεργειών κάποιων ανθρώπων που βρίσκονταν σε καταστάσεις με διαφορετικά συμφέροντα, όπως το να είναι αντίπαλοι σε ένα παιχνίδι. Κι έδειξε ότι σε κάθε αγορά, ακόμη κι όταν υπάρχουν αντικρουόμενα συμφέροντα, υπάρχει τρόπος να βρεθεί η ισορροπία. 

Το δίλημμα του φυλακισμένου “Prisoner’s dilemma”

Το πιο γνωστό και σημαντικό παίγνιο στην ιστορία της θεωρίας παιγνίων είναι το παίγνιο του διλήμματος του φυλακισμένου(Prisoner^,s dilemma).

Παίγνιον “Prisoner’s dilemma”

Στρατηγική 1 =confess

Στρατηγική 2   =not confess 

Ισορροπία Ναsh (A1,B1) στο σημείο αυτό οι παίκτες έχουν το μεγαλύτερο κέρδος αν δεχθούμε ότι δεν θα προδώσουν ο ένας τον άλλο.
Δύο ύποπτοι για ένα έγκλημα που έπραξαν από κοινού συλλαμβάνονται από την αστυνομία και κρατούνται σε διαφορετικά κελιά, ώστε να μην έχουν μεταξύ τους επικοινωνία. Οι αστυνομικοί είναι σίγουροι για την ενοχή τους αλλά ελλείψει αποδεικτικών στοιχείων τους προσφέρουν μια συμφωνία: αν και οι δύο ομολογήσουν ότι διέπραξαν το έγκλημα θα καταδικαστούν μόνο σε τρία χρόνια φυλάκισης. Αν μόνο ο ένας ομολογήσει θα αφεθεί ελεύθερος ενώ ο άλλος που θα αρνηθεί θα φυλακιστεί για πέντε χρόνια. Τέλος, αν κανένας δεν ομολογήσει, και οι δύο θα περάσουνε έναν χρόνο στη φυλακή.

Το δίλημμα εμφανίζεται όταν κάποιος υποθέτει ότι και οι δύο φυλακισμένοι νοιάζονται μόνο για να ελαχιστοποιήσουν την ποινή τους. Κάθε παίκτης έχει δύο στρατηγικές επιλογές : είτε να ομολογήσει και να συνεργαστεί με την αστυνομία (confess), είτε να παραμείνει σιωπηλός (not confess). Για παράδειγμα το καλύτερο αποτέλεσμα για τον παίκτη Α είναι να ομολογήσει και ο παίκτης Β να μείνει σιωπηλός. Το επόμενο καλύτερο αποτέλεσμα για τον Α είναι να μη μιλήσει κανένας από τους δύο, ενώ το χειρότερο σενάριο είναι να μιλήσει ο Β ενώ ο Α θα παραμείνει σιωπηλός. Το αντίστοιχο ισχύει και για τον παίκτη Β. Είναι λοιπόν φανερό πως οτιδήποτε και να σκοπεύει να κάνει ο Β, ο παίκτης Α θα πρέπει να επιλέξει την πρώτη στρατηγική(να ομολογήσει δηλαδή), αφού έτσι θα έχει καλύτερα αποτελέσματα. Ομοίως ισχύει και για τον Β παίκτη ο οποίος θα προτιμήσει και αυτός να μη μιλήσει. Σε αυτό το σημείο υπάρχει το δίλημμα αφού από τον πίνακα φαίνεται πως οι παίκτες θα αποκομίσουν μεγαλύτερο όφελος αν και οι δύο επιλέξουν να μη μιλήσουν από το να τα ομολογήσουν όλα. . Έτσι η καλύτερη στρατηγική για τον καθένα ξεχωριστά, παράγει ένα αποτέλεσμα που δεν είναι καλό για την ομάδα, κάνοντας τα ατομικά κίνητρα να υπονομεύουν το κοινό συμφέρον .

Πρόκειται για ένα παιχνίδι όπου τα κέρδη προέρχονται από τη συνεργασία. Το καλύτερο αποτέλεσμα και για τους δύο παίκτες είναι να μη μιλήσουν στους αστυνομικούς . Παρόλα αυτά, κάθε παίκτης έχει ένα μεγάλο κίνητρο να γίνει προδότης. Οτιδήποτε και να κάνει ο ένας παίκτης, ο αντίπαλος προτιμάει να ομολογήσει. Έτσι το παίγνιο αυτό έχει μία μοναδική Nash ισορροπία, μία κυρίαρχη στρατηγική, η οποία είναι η από κοινού ομολογία.

ο παράδοξο του αποτελέσματος εξηγείται από το γεγονός ότι οι φυλακισμένοι βρίσκονται σε ξεχωριστά κελιά και δεν μπορούν να επικοινωνήσουν μεταξύ τους για να αποφασίσουν από κοινού τι θα κάνουν. Αν μπορούσαν να το συζητήσουν ίσως να έβλεπαν πως η καλύτερη λύση είναι να μη μιλήσει κανένας τους. Αλλά ακόμη και με μια προφορική συμφωνία οι φυλακισμένοι ίσως προσπαθήσουν να προδώσουν τον υποτιθέμενο αντίπαλο τους, προλαβαίνοντας τον από μια πιθανή προδοσία. Εδώ επέρχεται ο παράγοντας της αξιοπιστίας: υπάρχει μια έφεση προς συνεργασία με εκείνους που πιστεύουμε ότι έχουν αντίστοιχη έφεση να συνεργαστούν. Ανορθόδοξη επίσης είναι η απόφαση να προδώσουν ο ένας τον άλλον, μιας και η σιωπή αποτελεί ύψιστη τιμή σε τέτοιες κοινωνικές ομάδες.

Μια άλλη περίπτωση είναι οι δύο ύποπτοι να μην ομολογήσουν, μόνο αν έχουν ξαναπεράσει όλο αυτό και γνωρίζουν πως δεν πρόκειται να προδοθούν Αυτή η ισορροπία λέγεται “υπό-παιγνιακή τέλεια ισορροπία Nash” όπου οι φυλακισμένοι έχουν μάθει να μην καρφώνουν ο ένας τον άλλον και έτσι ελαχιστοποιούν την συλλογική ποινή τους.

Το δίλημμα του φυλακισμένου αν και φαίνεται άσχετο με την καθημερινότητα του ανθρώπου, μπορούμε να το διακρίνουμε παντού, σε όλα τα κοινωνικά φαινόμενα. Υπάρχει μια τεράστια βιβλιογραφία που το αναλύει και μάλιστα πολλοί πιστεύουν πως αποτελεί τον κεντρικό πυρήνα της κοινωνικής ζωής. Οι εφαρμογές του λοιπόν στην καθημερινότητα ποικίλλουν από την οικονομία, την πολιτική και την κοινωνιολογία έως την εθνολογία και την εξελικτική βιολογία.

Στην πολιτική για παράδειγμα αυτό το παίγνιο χρησιμοποιείται για να επεξηγήσει το πρόβλημα που έχουν δύο κράτη με την απόκτηση όπλων. Υπάρχουν δύο στρατηγικές επιλογές για τα κράτη: είτε να αυξήσουν την στρατιωτική τους δύναμη και να αγοράσουν καινούριο εξοπλισμό, είτε να κάνουν μια συμφωνία έτσι ώστε να μειώσουν την χρησιμοποίηση όπλων. Κανένα κράτος δεν είναι βέβαιο ότι το άλλο θα κρατήσει την υπόσχεση του και επομένως και τα δύο κλίνουν στο να αγοράσουν τελικά τα όπλα. Παράδειγμα για αυτήν την περίπτωση αποτελεί η διαμάχη Αμερικής -Ρωσίας τη δεκαετία του 50(όταν πρωτομελετήθηκε το συγκεκριμένο παίγνιο) για την απόκτηση πυρηνικού εξοπλισμού.

Είναι φανερό πως σε κάθε συναλλαγή ή σύγκρουση ατομικών συμφερόντων που θίγει τους ανθρώπους, υπάρχει κάπου εκεί το δίλημμα του φυλακισμένου. Τα παραδείγματα ποικίλλουν από τα πολιτικά παζάρια και τους πλειστηριασμούς έως την συμπεριφορά των οδηγών στους δρόμους και την επιλογή δύο αντιμαχόμενων μερών για το αν θα χρησιμοποιήσουν δικηγόρους ή/ και θα καταφύγουν στα δικαστήρια για να λύσουν τις διαφορές τους. Το κοινό στοιχείο σε όλα αυτά τα παραδείγματα είναι ότι αν ο καθένας δράσει συνεργατικά θα υπάρξει το καλύτερο αποτέλεσμα. Δυστυχώς σχεδόν όλοι σκέφτονται μόνο το προσωπικό συμφέρον, με αποτέλεσμα να οδηγηθούν σε μη επιθυμητά αποτελέσματα. 

 Ο 28χρ Κ. Δασκαλάκης έλυσε τον γρίφο του νομπελίστα John Nash

Μετά τη διατύπωση της θεωρίας του Νας- η οποία δεν βρίσκει εφαρμογή μόνο στα παιχνίδια αλλά και στην αγορά ή το Διδίκτυο- ξεκίνησαν πολλοί επιστήμονες να ψάχνουν με ποιον τρόπο μπορεί κανείς να προβλέψει την ισορροπία Νας(Nash Equlibrium ), όπως για παράδειγμα τι θα γίνει στην αγορά ή το να προβλέψει κανείς ποιος θα κερδίσει στο σκάκι ή ποια στρατηγική είναι καλύτερη στο πόκερ.Απαντήσεις στο θέμα έδωσε ο Κωνσταντίνος ΔασκαλάκηςΑπόφοιτος του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου, με βαθμό 9,98 στα 10, με μεταπτυχιακές και διδακτορικές σπουδές στο Πανεπιστήμιο του Μπέρκλεϊ,  σήμερα καθηγητής πληροφορικής στο MIT, ο Κωνσταντίνος Δασκαλάκης θεωρείται ένα από τα πιο λαμπρά μυαλά διεθνώς. O K. Δασκαλάκης  σε συνεργασία με τους καθηγητές του, Χρίστο Παπαδημητρίου από το Πανεπιστήμιο του Μπέρκλεϊ και τον καθηγητή Πολ Γκόλντμπεργκ του Πανεπιστημίου του Λίβερπουλ, κατάφεραν να αποδείξουν, ότι δεν υπάρχει τρόπος για να προβλεφθεί η ισορροπία.  Η διδακτορική του διατριβή μελετά το Θεώρημα του Νας, στη θεωρία των παιγνίων, θεώρημα για το οποίο το 1994 ο Νας κέρδισε το Νόμπελ Οικονομίας. Ο 28χρονος Κων. Δασκαλάκης τράβηξε τα βλέμματα της διεθνούς ακαδημαϊκής κοινότητας πάνω του, καθώς βραβεύθηκε από τον διεθνή οργανισμό ΑCΜ (Αssociation for Computing Μachinery), την Ένωση δηλαδή όλων όσων ασχολούνται με την πληροφορική, η οποία δίνει ένα βραβείο για την καλύτερη διδακτορική διατριβή κάθε χρόνο.

Σε συνέντευξή του στα “Νέα” δηλώνει :

«Θα χαθώ στην Ελλάδα…»
«Το αντικείμενό μου είναι τέτοιο που φοβάμαι ότι αν ερχόμουν στην Ελλάδα δεν θα μπορούσα να συνεχίσω τις έρευνές μου. Το πιο πιθανό είναι ότι δεν θα υπήρχαν οι κατάλληλες συνθήκες, ενδεχομένως ούτε η απαραίτητη υποστήριξη στο ερευνητικό μου έργο. Φοβάμαι ότι μπορεί να χαθώ στην ελληνική γραφειοκρατία» λέει. Αυτό που του αρέσει ιδιαίτερα στη Βοστώνη είναι ότι είναι ένας τεράστιος ακαδημαϊκός χώρος. «Ο μισός πληθυσμός της πόλης έχει σχέση με τον πανεπιστημιακό κόσμο».

Eικονα: John Nash Γεννήθηκε το 1928 Bluefield,Δυτική Βιρτζίνια ,ΗΠΑ

Πηγή: 

1)"ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ NASH 
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ " Μεταπτυχιακή Διατριβή της Βλαχοπούλου Αθανασίας, 2010 Πανεπιστήμιο Μακεδονίας.

2)Εφημερίδα : τα ΝΕΑ

 3) tovima.gr [από το άρθρο "Οι εκλογές και η θεωρία των παιγνίων", ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ:  13/06/2004, 

Συγγραφέας άρθρου: Κωνσταντίνος Βαγιονάκης-Καθηγητής Θεωρητικής Φυσικής-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων),